Kağıt-Kalem Kriptolojisi I (Affine and Hill Cipher)

Mr.666 · 06-09-2006, 13:35

Afin Şifreleme Yöntemi

Tarihi ve Tanımı:

Simetrik (Sezar şifreleme metodu) şifreleme yöntemi ile yazı üzerinde 27 farklı dönüşüm yapılabiliyordu. Biz İngiliz alfabesini göz önünde tutarsak 26-1=25 dönüşümden söz etmemiz gerekir. Buda simetrik şifreleme yönteminin güvenli olmadığını gösterir. Afin yöntemi ile simetrik şifreleme yöntemi biraz daha genelleştirilmiştir ve güvenlik azda olsa simetrik şifreleme yöntemine göre daha güçlüdür. Tabi bu kağıt kalem kriptolojisinin bir örneği olduğundan bunu günümüz koşullarına göre düşünürsek. Çok çok zayıf bir yöntem olduğunu görürüz. Fakat bu bize kriptolojinin temel mantığını kavratmak için güzel bir örnek teşkil etmektedir.

y=(ax+b)MODm fonksiyonunu göz önüne alalım.

Burada x düz metindeki harflerin sayısal karşılığı, m düz metinde kullanılan alfabenin karakter sayısı, a ve b gizli sayılarımız ve y de fonksiyonumuzun işlem sonucunda aldığı değerdir. Y nin x e geri dönüşümü ise x=ters(a)(y-b)MODm formülü yardımıyla hesaplanır. Ters(a), a ile çarpımının modülo m e göre sonucu 1 olan sayıdır. Bunun kısaca şöyle ifade edebiliriz.

(a*ters(a))MODm=1

Aşağıdaki örnekte gördüğümüz gibi y=11x+4MOD26 şifreleme fonksiyonunu kullandığımız da E ve S harfleri W ve U şeklinde şifreli hallerini alır. Hesap modülo 26 aritmetiğini içerdiğinden, eğer çarpan 26 ile en büyük ortak bölene sahip ise bazı karakterler beklenen sonucu vermeyebilir. Bu yüzden m ve a nın en büyük ortak böleni 1 olmalıdır. Yani aralarında asal olacak şekilde seçmeliyiz.

Örnek:

Farzedelim ki mesaj y=(11x+4)MOD26 fonksiyonu ile şifrelensin. Şifreli metnimiz MONEY. Öncelikle düz metnimizdeki her bir karakterin aşağıda verilen listedeki olduğu gibi 0 ile 25 arasındaki sayısal değerlerini bulmalıyız.

A-0
B-1
C-2
D-3
E-4
.
.
.
Y-24
Z-25

Böylece MONEY metnimizin uygun sayısal değerleri 12, 14, 13, 4 ve 24 tür. Buradaki her bir değer için daha önce belirlediğimizy=(11x+4)MOD26 fonksiyonunu kullanırsak.
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326

M: y =(11*12+4)MOD26=6 ---- G

O: y =(11*14+4)MOD26= 2 ----- C

N: y=(11*13+4)MOD26=17 ----- R

E: y=(11*4+4)MOD26=22 ----- W
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326

Y: y=(11*24+4)MOD26=8 ----- I

Böylece bulduğumuz şifreli metnimiz “GCRWI” olur.

Şifre çözümü:

Şifre çözümü (deşifreleme) için y fonksiyonunu aşağıdaki gibi değiştirelim.

x=(ters(a)(y-b)MODm deşifreleme fonksiyonumuz

a=11 ve b=4 demiştik.

Böylelikle x=ters(11)(y-4)MOD26 yı elde edebiliriz.
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326

Ters(11)MOD26=19 ve bu şekilde deşifreleme fonksiyonumuz x=19(y-4)MOD26 olur.

Şimde şifreli metnimiz olan “GCRWI” deki her bir karakterin karşılığı olan sayısal değeri tablomuzdan bulalım. 6,2,17,22,8 dir.

G: x=19*(6-4)MOD26=12 ------M

C: x=19*(2-4)MOD26=14 ------ O

R: x=19*(17-4)MOD26= 13 ---- N

W: x=19*(22-4)MOD26=4 ----- E

I: x=19*(8-4)MOD26=24 ------ Y

Bu sayede düz metnimize ulaşırız “MONEY”.

Analiz:

Düz metindeki her bir karakterin y=(ax+b)MODm fonksiyonu ile şifrelendiği bildiğimizden Afin yöntemini iki lineer denklemin çözümüyle kırabiliriz.
Örneğin

“IF” ----- “PQ”

I---P: 8a+b=15MOD26

F---Q: 5a+b=16MOD26

Bu işlemin sonucunda a=17 b=9 çıkar. Böylelikle verilen metin kolayca kırılabilir.

Hill Cipher

Tarihi ve Tanımı:

Hill şifreleme yöntemi bir blok şifreleme örneğidir. Blok şifrelemeyi de şöyle ifade edebiliriz. Düz metni bitişik ve aynı uzunluktaki bloklara bölme, her bloğu şifreleyerek şifreli metin bloklarına dönüştürme ve bu şifreli blokları şifreli metin çıktısı olarak gruplamaktır. Hill şifreleme yöntemi Lester Hill tarafından bulunmuş ve 1929 yılında yayınlanmıştır.

Örnek:

Bir mesajı Hill yöntemi ile belli bir düzen içinde şifrelememiz gerekir. Öncelikle mesajın göndericisi ve alıcısı bir anahtar nxn lik A matrisi üzerinde anlaşmış olmalılardır. Bu A matrisini seçerken dikkat etmemiz gereken bir özellik ise MOD26 ya göre terslenebilen bir matris olmasıdır. Düz metin n uzunluğundaki bloklar şeklinde şifrelenir. Aşağıdaki örnekte A 2x2 lik bir matris ve mesajımız 2 karakterli bloklar halinde şifrelenecektir.

Anahtar Matrisimiz: A=

Mesajımız: MISSISIPI

Öncelikle bloklara bölelim. Bu sayede mesajımız MI-SS-IS-SI-PP-I halini alır.

İlk bloğumuz MI dir. Bu seferde bloğumuzdaki karakterlerin harf tablosundaki yerine göre aldığı değerlerden oluşan matrisimizi oluşturalım. M->12, I->8 olduğundan

dir

Gönderenin hesaplaması gereken ise
A

=

Bu işlem yapıldığında ilk iki karakterin şifreli karşılığı 2 ile 8 olacaktır. Bu değerlerin alfabetik karşılığınada bakıldığında CI çıktısını elde etmiş oluruz.

Bu işlemi düz metnimizdeki her bloğa uygularsak

Düz Metin: MI-SS-IS-SI-PP-IK

Şifreli Metin: CI-KK-GE-UW-ER-OY

Düz metnimizde son bloğa K eklememizin sebebi. Son bloğun uzunluğunu da 2 yapmaktır.

Hill yönteminin en önemli özelliğini de burada görmüş oluruz. S veya P nin yan yana kullanımında S->K olmuş sonradan ise S->E ve S->U olmuştur. Dolayısıyla Hill yöntemi ile düz metindeki karakterleri maskeleyebiliriz.

Şifre Çözümü (Deşifrelenmesi) :

Mesajın deşifrelenmesi için öncelikle anahtar matrisimiz olan A matrisinin tersi hesaplanmalıdır.

(mod 26)

Anahtar matrisin tersi ile şifreli karakter çiftlerinin çarpımı bize düz metni verir.

Anahtar Matrisimiz: A=

Şifreli Metnimiz: CIKKGEUWEROY

Deşifrele için ilk bloğumuzu seçelim CI

A-1

=

(mod26) dir

Mesaj deşifrelendiğinde ilk iki karakterin sayısal değeri olan 12 ve 8 sayıları bulunur. Bunlarda CI -> MI demektir. Mesajı alan kişi elinde bulunan şifreli metindeki her bir karakter bloğu için bu işlemi uygular.

Not: Bu makale özellikle lisede olup dönem ödevleri için bana sürekli e-posta atan kardeşlerim içindir. En basit kriptoloji mantığını anlamanız için bu iki örnek yeterlidir.

Kaynaklar:

1) Handbook of Applied Cryptography

2) Applied Cryptography, Second Edition

3) http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_cipher

4)http://www.cs.uri.edu/cryptography/

Y:Bünyamin DEMİR
Ek Bilgi/Düzenleme: Mr.666 1337

Mr.Heretic · 08-09-2006, 01:00

Sağlam döküman saolasın...

story_angel · 08-09-2006, 13:07

güzel emeğine sağlık

Cooper Hall · 01-01-2012, 00:28

OMG , Suriye'de Neler olup bittigini goruyor musunuz ? Ac?mas?z bir hukumeti darbe ne olursa olsun ,belirtiler devam

berkan197 · 01-01-2012, 02:19

Alıntı:

Orjinal Mesaj Sahibi Cooper Hall

OMG , Suriye'de Neler olup bittigini goruyor musunuz ? Ac?mas?z bir hukumeti darbe ne olursa olsun ,belirtiler devam

Hortlatmayalım

best coupons · 04-01-2012, 23:25

A bit of good Airline flight Simulators To choose from with regard to 2012 which wont hurt your wallet?

Printable Vouchers · 13-01-2012, 00:14

How would you get the Two for one lasagna show voucher with regard to lime wednesdays?

Restaurant Vouchers · 06-02-2012, 18:12

How can i rise to date nachos vouchers? We are hunting for a low cost computer code for dominos.

the bytar · 17-02-2012, 02:09

emeğine sağlık ...

06-09-2006, 13:35	#1
Mr.666 Moderator Kayıt Tarihi: Jul 2005 Üye numarası: #29226 Yer: Ankara Mesaj sayısı: 1,410 Karma etkisi: 2610 Karma: 260208	Kağıt-Kalem Kriptolojisi I (Affine and Hill Cipher) Afin Şifreleme Yöntemi Tarihi ve Tanımı: Simetrik (Sezar şifreleme metodu) şifreleme yöntemi ile yazı üzerinde 27 farklı dönüşüm yapılabiliyordu. Biz İngiliz alfabesini göz önünde tutarsak 26-1=25 dönüşümden söz etmemiz gerekir. Buda simetrik şifreleme yönteminin güvenli olmadığını gösterir. Afin yöntemi ile simetrik şifreleme yöntemi biraz daha genelleştirilmiştir ve güvenlik azda olsa simetrik şifreleme yöntemine göre daha güçlüdür. Tabi bu kağıt kalem kriptolojisinin bir örneği olduğundan bunu günümüz koşullarına göre düşünürsek. Çok çok zayıf bir yöntem olduğunu görürüz. Fakat bu bize kriptolojinin temel mantığını kavratmak için güzel bir örnek teşkil etmektedir. y=(ax+b)MODm fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada x düz metindeki harflerin sayısal karşılığı, m düz metinde kullanılan alfabenin karakter sayısı, a ve b gizli sayılarımız ve y de fonksiyonumuzun işlem sonucunda aldığı değerdir. Y nin x e geri dönüşümü ise x=ters(a)(y-b)MODm formülü yardımıyla hesaplanır. Ters(a), a ile çarpımının modülo m e göre sonucu 1 olan sayıdır. Bunun kısaca şöyle ifade edebiliriz. *(aters(a))MODm=1 Aşağıdaki örnekte gördüğümüz gibi y=11x+4MOD26 şifreleme fonksiyonunu kullandığımız da E ve S harfleri W ve U şeklinde şifreli hallerini alır. Hesap modülo 26 aritmetiğini içerdiğinden, eğer çarpan 26 ile en büyük ortak bölene sahip ise bazı karakterler beklenen sonucu vermeyebilir. Bu yüzden m ve a nın en büyük ortak böleni 1 olmalıdır. Yani aralarında asal olacak şekilde seçmeliyiz. Örnek: Farzedelim ki mesaj y=(11x+4)MOD26** fonksiyonu ile şifrelensin. Şifreli metnimiz MONEY. Öncelikle düz metnimizdeki her bir karakterin aşağıda verilen listedeki olduğu gibi 0 ile 25 arasındaki sayısal değerlerini bulmalıyız. A-0 B-1 C-2 D-3 E-4 . . . Y-24 Z-25 Böylece MONEY metnimizin uygun sayısal değerleri 12, 14, 13, 4 ve 24 tür. Buradaki her bir değer için daha önce belirlediğimizy=(11x+4)MOD26 fonksiyonunu kullanırsak. Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326 M: y =(1112+4)MOD26=6 ---- G O: y =(1114+4)MOD26= 2 ----- C N: y=(1113+4)MOD26=17 ----- R E: y=(114+4)MOD26=22 ----- W Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326 Y: y=(1124+4)MOD26=8 ----- I Böylece bulduğumuz şifreli metnimiz “GCRWI”* olur. Şifre çözümü: Şifre çözümü (deşifreleme) için y fonksiyonunu aşağıdaki gibi değiştirelim. x=(ters(a)(y-b)MODm deşifreleme fonksiyonumuz a=11 ve b=4 demiştik. Böylelikle x=ters(11)(y-4)MOD26 yı elde edebiliriz. Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=89326 Ters(11)MOD26=19 ve bu şekilde deşifreleme fonksiyonumuz x=19(y-4)MOD26 olur. Şimde şifreli metnimiz olan “GCRWI” deki her bir karakterin karşılığı olan sayısal değeri tablomuzdan bulalım. 6,2,17,22,8 dir. G: x=19(6-4)MOD26=12 ------M C: x=19(2-4)MOD26=14 ------ O R: x=19(17-4)MOD26= 13 ---- N W: x=19(22-4)MOD26=4 ----- E I: x=19(8-4)MOD26=24 ------ Y Bu sayede düz metnimize ulaşırız “MONEY”. Analiz:* Düz metindeki her bir karakterin y=(ax+b)MODm fonksiyonu ile şifrelendiği bildiğimizden Afin yöntemini iki lineer denklemin çözümüyle kırabiliriz. Örneğin “IF” ----- “PQ” I---P: 8a+b=15MOD26 F---Q: 5a+b=16MOD26 Bu işlemin sonucunda a=17 b=9 çıkar. Böylelikle verilen metin kolayca kırılabilir. Hill Cipher Tarihi ve Tanımı: Hill şifreleme yöntemi bir blok şifreleme örneğidir. Blok şifrelemeyi de şöyle ifade edebiliriz. Düz metni bitişik ve aynı uzunluktaki bloklara bölme, her bloğu şifreleyerek şifreli metin bloklarına dönüştürme ve bu şifreli blokları şifreli metin çıktısı olarak gruplamaktır. Hill şifreleme yöntemi Lester Hill tarafından bulunmuş ve 1929 yılında yayınlanmıştır. Örnek: Bir mesajı Hill yöntemi ile belli bir düzen içinde şifrelememiz gerekir. Öncelikle mesajın göndericisi ve alıcısı bir anahtar nxn lik A matrisi üzerinde anlaşmış olmalılardır. Bu A matrisini seçerken dikkat etmemiz gereken bir özellik ise MOD26 ya göre terslenebilen bir matris olmasıdır. Düz metin n uzunluğundaki bloklar şeklinde şifrelenir. Aşağıdaki örnekte A 2x2 lik bir matris ve mesajımız 2 karakterli bloklar halinde şifrelenecektir. Anahtar Matrisimiz: A= Mesajımız: MISSISIPI Öncelikle bloklara bölelim. Bu sayede mesajımız MI-SS-IS-SI-PP-I halini alır. İlk bloğumuz MI dir. Bu seferde bloğumuzdaki karakterlerin harf tablosundaki yerine göre aldığı değerlerden oluşan matrisimizi oluşturalım. M->12, I->8 olduğundan dir Gönderenin hesaplaması gereken ise A= Bu işlem yapıldığında ilk iki karakterin şifreli karşılığı 2 ile 8 olacaktır. Bu değerlerin alfabetik karşılığınada bakıldığında CI çıktısını elde etmiş oluruz. Bu işlemi düz metnimizdeki her bloğa uygularsak Düz Metin: MI-SS-IS-SI-PP-IK Şifreli Metin: CI-KK-GE-UW-ER-OY Düz metnimizde son bloğa K eklememizin sebebi. Son bloğun uzunluğunu da 2 yapmaktır. Hill yönteminin en önemli özelliğini de burada görmüş oluruz. S veya P nin yan yana kullanımında S->K olmuş sonradan ise S->E ve S->U olmuştur. Dolayısıyla Hill yöntemi ile düz metindeki karakterleri maskeleyebiliriz. Şifre Çözümü (Deşifrelenmesi) : Mesajın deşifrelenmesi için öncelikle anahtar matrisimiz olan A matrisinin tersi hesaplanmalıdır. (mod 26) Anahtar matrisin tersi ile şifreli karakter çiftlerinin çarpımı bize düz metni verir. Anahtar Matrisimiz: A= Şifreli Metnimiz: CIKKGEUWEROY Deşifrele için ilk bloğumuzu seçelim CI A-1=(mod26) dir Mesaj deşifrelendiğinde ilk iki karakterin sayısal değeri olan 12 ve 8 sayıları bulunur. Bunlarda CI -> MI demektir. Mesajı alan kişi elinde bulunan şifreli metindeki her bir karakter bloğu için bu işlemi uygular. Not: Bu makale özellikle lisede olup dönem ödevleri için bana sürekli e-posta atan kardeşlerim içindir. En basit kriptoloji mantığını anlamanız için bu iki örnek yeterlidir. Kaynaklar: 1) Handbook of Applied Cryptography 2) Applied Cryptography, Second Edition 3) http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_cipher 4)http://www.cs.uri.edu/cryptography/ Y:Bünyamin DEMİR Ek Bilgi/Düzenleme: Mr.666 1337

01-01-2012, 00:28	#4
Cooper Hall Çırak Kayıt Tarihi: Jan 2012 Üye numarası: #578036 Yer: United States Mesaj sayısı: 1 Karma etkisi: 0 Karma: 10	Bryan Johnson OMG , Suriye'de Neler olup bittigini goruyor musunuz ? Ac?mas?z bir hukumeti darbe ne olursa olsun ,belirtiler devam

04-01-2012, 23:25	#6
best coupons Çırak Kayıt Tarihi: Jan 2012 Üye numarası: #578682 Yer: United States Mesaj sayısı: 1 Karma etkisi: 0 Karma: 10	New Coupons A bit of good Airline flight Simulators To choose from with regard to 2012 which wont hurt your wallet?

13-01-2012, 00:14	#7
Printable Vouchers Çırak Kayıt Tarihi: Jan 2012 Üye numarası: #580278 Yer: United States Mesaj sayısı: 1 Karma etkisi: 0 Karma: 10	Cool Codes How would you get the Two for one lasagna show voucher with regard to lime wednesdays?

06-02-2012, 18:12	#8
Restaurant Vouchers Çırak Kayıt Tarihi: Feb 2012 Üye numarası: #584025 Yer: United States Mesaj sayısı: 1 Karma etkisi: 0 Karma: 10	Food Vouchers How can i rise to date nachos vouchers? We are hunting for a low cost computer code for dominos.

08-09-2006, 01:00	#2
Mr.Heretic Cool Çırak Kayıt Tarihi: Jul 2006 Üye numarası: #79430 Mesaj sayısı: 30 Karma etkisi: 0 Karma: 14	Sağlam döküman saolasın...

08-09-2006, 13:07	#3
story_angel Daimi Üye Kayıt Tarihi: Feb 2006 Üye numarası: #51497 Yer: in dibi ! Mesaj sayısı: 251 Karma etkisi: 8 Karma: 178	güzel emeğine sağlık

17-02-2012, 02:09	#9
the bytar Çırak Kayıt Tarihi: Feb 2012 Üye numarası: #585022 Mesaj sayısı: 3 Karma etkisi: 0 Karma: 10	emeğine sağlık ...

Konu Araçları	Bu Konuda Ara
Printer Çıktısını Göster Sayfayı Emaille Yolla	Bu Konuda Ara: Gelişmiş Arama

Şu Anda Konuyu Görüntüleyenler: 1 (0 üye ve 1 misafir)