Matematiğin Kaşifi: El-Harezmi ..

nesta_34 · 17-06-2010, 13:41

Tam adı; Ebu Abdullah Muhammed İbni Musa El Harezmi. Genel kabulle Ortaçağ İslam dünyasının en büyük bilimsel yeteneklerinden biri! Batı Türkistan’da ki Aral gölü güneyinde bulunan Harezm bölgesinde 780 yılında dünyaya gelip, 850 ‘de da Bağdat’ta vefat etmiştir. Üç oğlu vardır ve hepsi de matematik üzerinde çok önemli çalışmalar yapmışlardır. Çağına göre üstün özellikler taşıyan eserlerinin en ilginç yönlerden birisi de, açıların sinüs gibi trigonometrik fonksiyonlarla ifade edildiğini gösteren bazı tabloların bulunmasıdır.
10. yüzyılda yaşıyan ve tüm dünyaya isminin (El Harezmi – Al Khrawarizmi) Latince telaffuzunu “algoritma” olarak zikrettiren bu Müslüman Türk alimi, cebir matematiğinin de kurucusudur. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap” adlı eserinden gelir.

El Yazmasi Cebir Kitabı

Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından , denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur.Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir.
El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modeller de kullanır.Fakat bu çözümleme yöntemleri, malesef ki Türkiyede neredeyse hiç bir ders kitabında gösterilmez. İkinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, – isminin Latince telaffuzu ile - ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkması sağlamıştır. Günümüzde dünyasının vazgeçilmez parçası bilgisayarların programlama dilleri, Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak yazılmaktadır. Dolayısı ile günümüz programcılığının ve daha bir çok şeyin temelinde Harezmi’nin de olduğunu söylemek mümkündür.

BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZME METODU

El-Harezmi ikinci dereceden olan ve birinci tip diye kümelediği denklemlerin genel ifadesi:

Şeklinde sol tarafında ikinci ve birinci dereceden bilinmeyenleri, sağ tarafında da sabit terimi ihtiva eder. El-Harezmi bunun çözümü için birbirinden farklı iki yöntem önermiştir. Bunlar,
1) Önce terimi geometrik olarak bir kenar X olan, Şekil 1’deki ABCD ile gösterilen bir kareyi ifade ettiği düşünülür.

Denklem 1.1’in sol tarafındaki birinci dereceden bilinmeyen, yani ikinci terim bir kenarı X ve yüksekliği a olan bir dikdörtgeni gösterir. Şekil 1.1’de simetrikliği sağlamak için alanı aX olan bu dikdörtgeni ABCD karesinin her kenarına eşit dağıtabilmek için X kenarının uzunluğu aynı kalacak ve yüksekliği a/4 olacak şekilde içi taralı dört tane dikdörtgen ilave edilir. Böylece, ortaya çıkan en dıştaki noktalı çizgilerle gösterilmiş olan en büyük karenin alanı, A, dört köşede beliren küçüj noktalı karelerinin de göz önünde tutulması ile,
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709

Olur. Diğer taraftan, en büyük karenin alanı bir kenarın uzunluğu cinsinden yazılacak olursa aşağıdaki alan ifadesi elde edilir.

İşte bu son iki denklem birbirine eşit olduğundan

Yazılabilir. Denklem (1.3)’in göz önünde tutulması ile bu son ifadenin sol tarafındaki ilk iki terimin toplamının b olduğu anlaşılır. Burada da,

Elde edilir. Burada, bilinmeyen terimi sadece eşitliğin bir tarafında kalan bir ifadeye ulaşılır. Son olarak, karekök alınarak gerekli düzeltmelerin yapılması ile

Çözümleri elde edilir.

2) Burada yine aşağıdaki şekilde ABCD ile gösterilen bir kare ile temsil edilir. Yine daha büyük ve tam bir kare elde edebilmek için bu temel kare, Denklem(1.1)’deki aX terimini temsil edebilmek için bir yatay, bir de düşey kenarı uzunluğunda uzatılırsa ortaya iki adet taralı ve her birinin alanı (a/2)X olan dikdörtgenler çıkar. Bu taralı iki dikdörtgenin alanlarının toplamı aX’dir. Böylece ABCD karesi ile taralı iki dikdörtgenin alanlarının toplamı bize Denklem (1.1)’in sol tarafındaki bilinmeyenli terimlerinin toplamını verir. Bu üç alanı da içine alan ve kenar uzunluğunu olan en büyük karenin alanı,

Olarak bulunur.

Aslında en büyük kare alanı biri karesini, ikisi dikdörtgenlerini ve sonuncusunu da Şekil 1.2’de noktalı kenarla gösterilen karesini içeriri. Buna göre, en büyük kareinin cebirsel alanını

Şeklinde yazılır. Son iki ifadenin birbirine eşit olmaları sebebi ile
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709

yazılır. Bu ifadenin sol tarafındaki iki tane X bilinmeyenin ihtiva eden terimlerin toplamını Denklem(1.1)’i göz önünde tutarak yeniden yazarsak

Denklemi elde edilir ki, bu da, birinci çözüzmde elde edilen (1.+) denkleminin aynısıdır. O halde, göz önünde tutulan (1.1) denklemindeki ikinci dereceden bilinmeyenli denkleminin kökleri (1.5) ve (1.6) denklemleri ile verilir.

nesta_34 · 17-06-2010, 13:42

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZME METODU

El-Harezmi en genel hali ile aşağıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin çözümünü düşünmüştür. Uzun uğraşılar sonrasında, aklına geometrik bir modelin öncelikle incelene olay esas alınarak kurulmasının gerektiğini düşünmüştür. Denklem, en genel halinde a,b ve c katsayıları ile ve X bilinmeyeni içeren

Şeklinde cebirsel olarak yazılabilir. İnsanın aklına buradaki X2 terimin kenarı X’e eşit olan bir kare oldığı gelmektedir. O halde, bilinmeyen karesi yani X2 geometrik olarak kare ile temsil edilebilir. El-Harezmi önce denklemin her iki tarafını a ile bölerek ilk terimin bir kenarı X olankare haline dönüşmesini sağlamıştır.

Şekil (1.1)’ de X2 terimi kare alan olarak gösterilmiştir. İlk terim bir alanla temsil edildiğine göre diğerlerinin de alanlarla ifade edilmesi gerekir ki modelde esas alınan büylüklüğü sağlayabilelim.

İkinci terim de bir alan olarak düşünülmesi, birinci terimdeki kareinin kenarı X olduğunda göre, ikinci terimi bir kenarı bu kare ile ortak diğer kenarı da X+(1/2)(b/a) olan bir dikdörtgenle modelleyebiliriz. (Şekil 1.3)
Böylece şekilde gösterildiği üzerE kenarları olan daha büyük bir kare meydana çıkar. Bu karenin alanı, A, alt alanlarının toplamına eşittir. Alt alanlar ikisi farklı yüzey alanlı kare, diğer ikisi de birbirinin aynı alana sahip dikdörtgen olmak üzere 4 tanedir. Toplam alan

dir. Denklem (1.3)’deki toplam alanın ilk iki terimi (1.8) denkleminin ilk iki terimin aynısıdır Toplam kare alanı

şeklinde yazılabilir. Böylece, Denklem (1.12) ve (1.13) birbirine eşdeğerdir. Buna göre,
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709

Denklem (1.11)’ye benzer bir ifade elde etmek için bu son denklemin her iki tarafına (c/a) ilave edersek eşitlik bozulmaz
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709

Elde edilir. Ancak sol taraftaki ilk üç terimin toplamı (1.11) eşitliğine göre sıfır olduğundan elimizde

kalır. Her iki tarafın karekökünün alınmasıyla

elde edilir. Buradan da sonuç olarak iki kök

bulunur. Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri bulunmuş olunur.

Prof. Dr. Şen, Z. 2006. Batmayan Güneşlerimiz. Sayfa 26.
Göker, L. 1997. Matematik tarihi ve Türk-İslam matematikçilerinin yeri. Düşünce Eserleri Dizisi. Milli Eğitim bakanlığı Yayınları, sayfa 476.

N3¢4T · 17-06-2010, 14:45

bu adam yüzünde bir zamanlar sınıfta kalıodum

şaka bi yandan güzel paylaşım emeğine sağlık

cigerpare · 17-06-2010, 14:47

Mükemmel bir konu usta,ellerin dert görmesin
Allah razı olsun

_Officer_ · 17-06-2010, 15:24

way be müslümanmıymış bu adam az sövmedik bu adama az günaha girmedik

adalıkadir41 · 17-06-2010, 15:43

emeğine sağlık Kerim abi , böyle mübarek bir günde bu tarz paylaşımlar çok iyi olmuş. Hem bilgi dağarcığımız genişliyor,hem de yad etmiş oluyoruz.

1986-1987 yılı , en son Modern Matematik mezunlarındanım. O zamanlar hiç sevmememe ve zar zor geçmeme rağmen , o günlerde öğrendiklerimiz çoğu unutulmakla beraber, halen bellekte . üniversite sınavları yapıldığında şööle bi bakar matematikten en az 20-25 net bırakırım.
Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709

Bizlere emek harcayıp yetiştiren tüm hocalarımızdan Allah razı olsun.

halm · 19-06-2010, 19:23

Alıntı:

Orjinal Mesaj Sahibi _Officer_

way be müslümanmıymış bu adam az sövmedik bu adama az günaha girmedik

bunu duymak bile beni üzdü açıkça. Günümüz matemetiğinin temellerini atan, cebir i bulan insanın türk ve müslüman olduğunun bilinmemesi beni gerçekten üzdü

DheLu · 20-06-2010, 07:56

SaoL PayLaşıM içiN

daha önce araştırmıştım bu adamı

zambaklar · 29-06-2010, 19:33

Teşekkürker nesta ustam,kendi insanımız işte
süper konu

sirazi · 29-06-2010, 21:54

ellerin dert görmesin hoca

muhassil · 30-06-2010, 22:50

teşekkürler hocam, güzel konu

hardlight · 30-06-2010, 23:37

emeğiniz ve güzel konu için teşekkürler

yediiklimi · 01-07-2010, 09:51

alanında müthiş bir bilim insanıdır

aklımdasınn · 01-07-2010, 09:57

Eline sağlık kerim ustam

17-06-2010, 13:41	#1
nesta_34 Forum Ustası Kayıt Tarihi: Jun 2009 Üye numarası: #336256 Yer: Gök Kubbe İçinde Mesaj sayısı: 12,154 Karma etkisi: 129544 Karma: 12952933	Matematiğin Kaşifi: El-Harezmi .. Tam adı; Ebu Abdullah Muhammed İbni Musa El Harezmi. Genel kabulle Ortaçağ İslam dünyasının en büyük bilimsel yeteneklerinden biri! Batı Türkistan’da ki Aral gölü güneyinde bulunan Harezm bölgesinde 780 yılında dünyaya gelip, 850 ‘de da Bağdat’ta vefat etmiştir. Üç oğlu vardır ve hepsi de matematik üzerinde çok önemli çalışmalar yapmışlardır. Çağına göre üstün özellikler taşıyan eserlerinin en ilginç yönlerden birisi de, açıların sinüs gibi trigonometrik fonksiyonlarla ifade edildiğini gösteren bazı tabloların bulunmasıdır. 10. yüzyılda yaşıyan ve tüm dünyaya isminin (El Harezmi – Al Khrawarizmi) Latince telaffuzunu “algoritma” olarak zikrettiren bu Müslüman Türk alimi, cebir matematiğinin de kurucusudur. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap” adlı eserinden gelir. El Yazmasi Cebir Kitabı Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından , denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur.Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir. El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modeller de kullanır.Fakat bu çözümleme yöntemleri, malesef ki Türkiyede neredeyse hiç bir ders kitabında gösterilmez. İkinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, – isminin Latince telaffuzu ile - ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkması sağlamıştır. Günümüzde dünyasının vazgeçilmez parçası bilgisayarların programlama dilleri, Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak yazılmaktadır. Dolayısı ile günümüz programcılığının ve daha bir çok şeyin temelinde Harezmi’nin de olduğunu söylemek mümkündür. BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZME METODU El-Harezmi ikinci dereceden olan ve birinci tip diye kümelediği denklemlerin genel ifadesi: Şeklinde sol tarafında ikinci ve birinci dereceden bilinmeyenleri, sağ tarafında da sabit terimi ihtiva eder. El-Harezmi bunun çözümü için birbirinden farklı iki yöntem önermiştir. Bunlar, 1) Önce terimi geometrik olarak bir kenar X olan, Şekil 1’deki ABCD ile gösterilen bir kareyi ifade ettiği düşünülür. Denklem 1.1’in sol tarafındaki birinci dereceden bilinmeyen, yani ikinci terim bir kenarı X ve yüksekliği a olan bir dikdörtgeni gösterir. Şekil 1.1’de simetrikliği sağlamak için alanı aX olan bu dikdörtgeni ABCD karesinin her kenarına eşit dağıtabilmek için X kenarının uzunluğu aynı kalacak ve yüksekliği a/4 olacak şekilde içi taralı dört tane dikdörtgen ilave edilir. Böylece, ortaya çıkan en dıştaki noktalı çizgilerle gösterilmiş olan en büyük karenin alanı, A, dört köşede beliren küçüj noktalı karelerinin de göz önünde tutulması ile, Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 Olur. Diğer taraftan, en büyük karenin alanı bir kenarın uzunluğu cinsinden yazılacak olursa aşağıdaki alan ifadesi elde edilir. İşte bu son iki denklem birbirine eşit olduğundan Yazılabilir. Denklem (1.3)’in göz önünde tutulması ile bu son ifadenin sol tarafındaki ilk iki terimin toplamının b olduğu anlaşılır. Burada da, Elde edilir. Burada, bilinmeyen terimi sadece eşitliğin bir tarafında kalan bir ifadeye ulaşılır. Son olarak, karekök alınarak gerekli düzeltmelerin yapılması ile Çözümleri elde edilir. 2) Burada yine aşağıdaki şekilde ABCD ile gösterilen bir kare ile temsil edilir. Yine daha büyük ve tam bir kare elde edebilmek için bu temel kare, Denklem(1.1)’deki aX terimini temsil edebilmek için bir yatay, bir de düşey kenarı uzunluğunda uzatılırsa ortaya iki adet taralı ve her birinin alanı (a/2)X olan dikdörtgenler çıkar. Bu taralı iki dikdörtgenin alanlarının toplamı aX’dir. Böylece ABCD karesi ile taralı iki dikdörtgenin alanlarının toplamı bize Denklem (1.1)’in sol tarafındaki bilinmeyenli terimlerinin toplamını verir. Bu üç alanı da içine alan ve kenar uzunluğunu olan en büyük karenin alanı, Olarak bulunur. Aslında en büyük kare alanı biri karesini, ikisi dikdörtgenlerini ve sonuncusunu da Şekil 1.2’de noktalı kenarla gösterilen karesini içeriri. Buna göre, en büyük kareinin cebirsel alanını Şeklinde yazılır. Son iki ifadenin birbirine eşit olmaları sebebi ile Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 yazılır. Bu ifadenin sol tarafındaki iki tane X bilinmeyenin ihtiva eden terimlerin toplamını Denklem(1.1)’i göz önünde tutarak yeniden yazarsak Denklemi elde edilir ki, bu da, birinci çözüzmde elde edilen (1.+) denkleminin aynısıdır. O halde, göz önünde tutulan (1.1) denklemindeki ikinci dereceden bilinmeyenli denkleminin kökleri (1.5) ve (1.6) denklemleri ile verilir.

Konu Araçları	Bu Konuda Ara
Printer Çıktısını Göster Sayfayı Emaille Yolla	Bu Konuda Ara: Gelişmiş Arama

17-06-2010, 13:42	#2
nesta_34 Forum Ustası Kayıt Tarihi: Jun 2009 Üye numarası: #336256 Yer: Gök Kubbe İçinde Mesaj sayısı: 12,154 Karma etkisi: 129544 Karma: 12952933	İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZME METODU El-Harezmi en genel hali ile aşağıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin çözümünü düşünmüştür. Uzun uğraşılar sonrasında, aklına geometrik bir modelin öncelikle incelene olay esas alınarak kurulmasının gerektiğini düşünmüştür. Denklem, en genel halinde a,b ve c katsayıları ile ve X bilinmeyeni içeren Şeklinde cebirsel olarak yazılabilir. İnsanın aklına buradaki X2 terimin kenarı X’e eşit olan bir kare oldığı gelmektedir. O halde, bilinmeyen karesi yani X2 geometrik olarak kare ile temsil edilebilir. El-Harezmi önce denklemin her iki tarafını a ile bölerek ilk terimin bir kenarı X olankare haline dönüşmesini sağlamıştır. Şekil (1.1)’ de X2 terimi kare alan olarak gösterilmiştir. İlk terim bir alanla temsil edildiğine göre diğerlerinin de alanlarla ifade edilmesi gerekir ki modelde esas alınan büylüklüğü sağlayabilelim. İkinci terim de bir alan olarak düşünülmesi, birinci terimdeki kareinin kenarı X olduğunda göre, ikinci terimi bir kenarı bu kare ile ortak diğer kenarı da X+(1/2)(b/a) olan bir dikdörtgenle modelleyebiliriz. (Şekil 1.3) Böylece şekilde gösterildiği üzerE kenarları olan daha büyük bir kare meydana çıkar. Bu karenin alanı, A, alt alanlarının toplamına eşittir. Alt alanlar ikisi farklı yüzey alanlı kare, diğer ikisi de birbirinin aynı alana sahip dikdörtgen olmak üzere 4 tanedir. Toplam alan dir. Denklem (1.3)’deki toplam alanın ilk iki terimi (1.8) denkleminin ilk iki terimin aynısıdır Toplam kare alanı şeklinde yazılabilir. Böylece, Denklem (1.12) ve (1.13) birbirine eşdeğerdir. Buna göre, Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 Denklem (1.11)’ye benzer bir ifade elde etmek için bu son denklemin her iki tarafına (c/a) ilave edersek eşitlik bozulmaz Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 Elde edilir. Ancak sol taraftaki ilk üç terimin toplamı (1.11) eşitliğine göre sıfır olduğundan elimizde kalır. Her iki tarafın karekökünün alınmasıyla elde edilir. Buradan da sonuç olarak iki kök bulunur. Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri bulunmuş olunur. Prof. Dr. Şen, Z. 2006. Batmayan Güneşlerimiz. Sayfa 26. Göker, L. 1997. Matematik tarihi ve Türk-İslam matematikçilerinin yeri. Düşünce Eserleri Dizisi. Milli Eğitim bakanlığı Yayınları, sayfa 476.

17-06-2010, 14:45	#3
N3¢4T Banned Kayıt Tarihi: May 2010 Üye numarası: #452187 Yer: Wardom.Org Mesaj sayısı: 1,017 Karma etkisi: 0 Karma: 821124	bu adam yüzünde bir zamanlar sınıfta kalıodum şaka bi yandan güzel paylaşım emeğine sağlık

17-06-2010, 14:47	#4
cigerpare Hızlı Çırak Kayıt Tarihi: Jun 2010 Üye numarası: #457646 Mesaj sayısı: 59 Karma etkisi: 15208 Karma: 1520617	Mükemmel bir konu usta,ellerin dert görmesin Allah razı olsun

17-06-2010, 15:24	#5
_Officer_ Daimi Üye Kayıt Tarihi: Dec 2008 Üye numarası: #297363 Mesaj sayısı: 490 Karma etkisi: 4491 Karma: 448770	way be müslümanmıymış bu adam az sövmedik bu adama az günaha girmedik

17-06-2010, 15:43	#6
adalıkadir41 Banned Kayıt Tarihi: Dec 2009 Üye numarası: #393748 Yer: kocaeli izmit Mesaj sayısı: 2,859 Karma etkisi: 0 Karma: 8354327	emeğine sağlık Kerim abi , böyle mübarek bir günde bu tarz paylaşımlar çok iyi olmuş. Hem bilgi dağarcığımız genişliyor,hem de yad etmiş oluyoruz. 1986-1987 yılı , en son Modern Matematik mezunlarındanım. O zamanlar hiç sevmememe ve zar zor geçmeme rağmen , o günlerde öğrendiklerimiz çoğu unutulmakla beraber, halen bellekte . üniversite sınavları yapıldığında şööle bi bakar matematikten en az 20-25 net bırakırım. Kaynak: Wardom http://www.wardom.com.tr/showthread.php?t=390709 Bizlere emek harcayıp yetiştiren tüm hocalarımızdan Allah razı olsun.

20-06-2010, 07:56	#8
DheLu Hızlı Çırak Kayıt Tarihi: Jun 2010 Üye numarası: #456352 Yer: İstanbul Mesaj sayısı: 87 Karma etkisi: 904 Karma: 90273	SaoL PayLaşıM içiN daha önce araştırmıştım bu adamı

29-06-2010, 19:33	#9
zambaklar Cool Üye Kayıt Tarihi: Apr 2010 Üye numarası: #445885 Mesaj sayısı: 109 Karma etkisi: 25746 Karma: 2574324	Teşekkürker nesta ustam,kendi insanımız işte süper konu

29-06-2010, 21:54	#10
sirazi Hızlı Çırak Kayıt Tarihi: Jun 2010 Üye numarası: #461189 Mesaj sayısı: 70 Karma etkisi: 24233 Karma: 2423100	ellerin dert görmesin hoca

30-06-2010, 22:50	#11
muhassil Daimi Üye Kayıt Tarihi: Nov 2009 Üye numarası: #384513 Mesaj sayısı: 512 Karma etkisi: 50150 Karma: 5014791	teşekkürler hocam, güzel konu

30-06-2010, 23:37	#12
hardlight Daimi Üye Kayıt Tarihi: Dec 2007 Üye numarası: #179164 Mesaj sayısı: 335 Karma etkisi: 2244 Karma: 223975	emeğiniz ve güzel konu için teşekkürler

01-07-2010, 09:51	#13
yediiklimi Hızlı Çırak Kayıt Tarihi: Jul 2010 Üye numarası: #461948 Mesaj sayısı: 63 Karma etkisi: 21489 Karma: 2148703	alanında müthiş bir bilim insanıdır

01-07-2010, 09:57	#14
aklımdasınn Hızlı Çırak Kayıt Tarihi: Jun 2010 Üye numarası: #461121 Mesaj sayısı: 63 Karma etkisi: 14612 Karma: 1461005	Eline sağlık kerim ustam